【論文紹介】Gaussian process factorization machines for context-aware recommendations (SIGIR2014)

Field-awareなFactorization Machinesの最新動向(2019) - Qiita ガウス過程回帰入門

## GPFM
explicit feedbackへのモデル。
explicit feedbackとは、userが各itemに対して与える評価(rating)のことである。

amazonの星いくつ？みたいなもの。

itemとcontextのembeddingを得る。
userごとに異なるGPを考える。あるuserの行動履歴(item,contextの組)を入力とするGPをuser分考える。

kernelはRBFカーネルとかで、似たようなitem,contextに対しては似たようなratingを返して欲しいよね、というところ。カーネルのハイパーパラメータはuserごとに別のものを使う。

平均ベクトルにはbias embeddingの和を使う。MFとかでよくみるやつ。userごとのbias,itemごとのbiasを扱うあれ。

gaussian noizeを載せても出力もガウス分布になっていて、対数尤度が計算できるのでこれを最適化する。
普通に微分できるのでitem,contextのembeddingやGPのハイパーパラメータについて微分する。

勾配が計算できるのでSGDする。

普通のGPでは、入力は固定して考えるけど、ハイパーパラメータを決めるときには似た感じで対数尤度を微分して最適化する、みたいなことをやる。

今回は入力もembeddingなので学習したい、という状況なので、全部微分してしまおう、という感じになる。

## GPPW

GPFMをimplicit feedbackバージョンにするために、BPRを用いる.

implicit feedbackとは、explicit feedbackのようにratingが与えられず、userがclickしたとかwebページを閲覧したなどの情報のみ得られる場合を指す。explicit feedbackでは人の好みがダイレクトにデータとして与えられるけれど、implicit feedbackではそれがダイレクトではない(クリックしてないからといってuserが特定のitemにrelevantでないとは言えない)というところが難しいポイント。

explicit feedbackよりもデータが集めやすく、現実的なのでよく研究されている。今回この研究でも利用しているBPRはそのうちの一つ。

(BPRも読んだのですが記事にできていません。。。)

<a href="https://arxiv.org/pdf/1205.2618.pdf">BPR: Bayesian Personalized Ranking from Implicit Feedback</a>

ざっくりいうと、BPRではlossの部分を変更する。

lossの部分は、クリックされたものとされなかったもののpairを学習する。

されなかったもの同士、されたもの同士は比較できないので何もしない。

基本的にはBPR通り、pair wiseなlossを作る。

GPぽさがあるのは、user preference functionをBPRで必要になる(どっちのitem,contextをより好む？という関数)が、ここをGPFMの差とすることで、その差もGPになるよね、ということ。

とすると、カーネルが

結局カーネルを変えるだけでいけますよね(平均は０になる)っていう。

出力が従うガウス分布は次のようになる(本当はこれにnoizeをつけたもの)

## prediction

新しいのが来たら、

(item,context)のembeddingを得る。
そして、それらを入力とするGPでregressionをする(条件付きの分布もGaussianになるいつものあれ)

## 訓練時間

各userごとに行動ログは少ないと考えられるので、GPの逆行列計算ではインスタンスの3乗になるけど大丈夫だよね、ってある

各ステップで微分するところが、
$O(BaMd)$となる。

$B$は全観察データ
$a$はuserあたりのlog
$M$はcontextの個数
$d$はembedding dim

embedding dimはGPのおかげで3とかめっちゃ小さくできる

らしい。

## 実験

メモ程度の記事なのでひとまず割愛。

ただ一つ気になった結果があった。

提案手法の学習時間がデータサイズに関してどう変化するかを確かめる実験で、結果が次のようになった。

横軸がデータサイズ(全体に対してどのくらいのデータを使ったか)、縦軸がフルで使って$d=8$の時を1とした時の訓練時間を表す。(凡例がおかしい気がする。$d=8$でフルサイズ使った時が1なはずなので、逆では？)

論文中では、データサイズのついて訓練時間が線形にしか増加していないね、といっているが、線形か？と疑問に思った。

計算時間の解析のところで

$O(BaMd)$となる。

$B$は全観察データ
$a$はuserあたりのlog
$M$はcontextの個数
$d$はembedding dim

だったので、userごとに満遍なくlogがある場合、訓練時間はデータサイズの3乗のオーダーになるのでは？？と思った。し、線形というよりは2,3次関数ぽい気がするんだけど、、、

## まとめ

Gaussian Process + Factorization Machinesでnon linearに対応しましょう、というGPFMを紹介しました。

FMの線形性を克服するために...という研究はDeep + FMにも繋がるものがあり、そっちが割と盛んに行われたイメージがあります。この論文とちょうど同じごろに始まっているのも頷けます。

ちなみに、一度この記事を書いたのですがなぜかデータが消えてしまい、やる気をなくしてしまったので少し簡素になってしまいました。。。

読んでいただきありがとうございました。

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