同じ分布に従う確率変数のうちどれが最大になるか-ぐぐりらにっき

こんにちは、ぐぐりら(<a href="https://twitter.com/guglilac">@guglilac</a>)です。

### 問題
同じ確率分布に従う三つの確率変数$A,B,C$のうち$A$が一番大きい値をとる確率は?という問題を考えます。

普通に考えると、1/3ぽいです。
$A,B,C$は全部同じ条件で、どれかが最大になるので均等に1/3になりそう。

しかし、ある人が違う答えになる解法をもってきました。

Aが最大になることは、「$A>B>C$ または$A>C>B$」と同値で、

これは「$A>B$ かつ $A>C$」と同値です。

なので、$P(A>B) \times P(A>C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =\frac{1}{4}$

あれ、1/4になってしまった笑

どこが間違っているのか、と聞かれたので答えるつもりで記事を書いてみます。

### いろいろ変

$P(max=A)=P(A>B)\times P(A>C)$としているのがおかしいですね。

正しくは

$P(\max=A) = E_A[P(\max A=a)] = E_A[P(a>B)\times P(a>C)]$

ようするに、同じ$A$の値に対して$B$と$C$が$A$より小さいことが$A$が最大になる条件なのに、上では違う$A$でもよくなっているわけですね。

というところもおかしいですし、なにもせずに$P(A>B)=\frac{1}{2}$としていいのなら求めたい確率も1/3で自明なんじゃないか？とも思うのですが。。。

### 修正案

こんな感じでやればちゃんと1/3になります。

ただの数3でやる置換積分ですが。。。

累積分布関数を微分すると確率密度関数になることを使います。

$f$が確率密度関数、$F$を累積分布関数とします。

$P(\max=A) = E_A[P(a>B)\times P(a>C)]= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)(F(x))^2 dx=\int_{0}^{1}t^2 dt=\frac{1}{3}$

ちゃんと1/3になりました。

変数の個数を$n$に一般化しても同じように積分すれば、$\frac{1}{n}$になりますね。

### おわりに

小ネタですがちょっとおもしろかったので書いてみました。

分布を指定すれば、$A,B,C$の最大値$D$の従う分布とか、期待値とか、いろいろ調べたりもできそうです。

ことしもこんなかんじでゆるゆる書くのでよろしくお願いします。

同じ分布に従う確率変数のうちどれが最大になるか