記憶力がカンストした人たちが神経衰弱をしたら-ぐぐりらにっき

## はじめに
  
こんにちは、ぐぐりら(<a href="https://twitter.com/guglilac">@guglilac</a>)です。
  
前回の[虚無のゲーム「ルドー」を実装し先手有利説を検証](https://www.smartbowwow.com/2021/03/blog-post.html)の記事に続いて、ゲームのシミュレーションのプログラムを書いて、説を検証するシリーズの記事になります。

今回は、みんなお馴染みの神経衰弱について考えてみました。

神経衰弱にまつわるテーマのうち今回扱うのは、タイトルのとおり「記憶力がカンストした人が神経衰弱をしたら」についてです。

ちゃんと書くと、一度表になったカードは全て記憶し、既に表になったカードとペアになる数字が出た場合には必ずそのペアを取ることができるプレイヤーだけで神経衰弱をする場合を考えます。

記憶力がカンストし神経衰弱で理論値を出せると、残る勝敗を決める要素が運とプレイ順番のみになるため、プログラムを書いて大量にシミュレーションすることで、プレイの順番によってどの程度勝率に影響するのかを調べることができそうです。

大人になって、神経衰弱について真面目に考えることってほとんどないと思うのですが、今回も真面目に実験して真面目に記事にしたので楽しんでいただければ嬉しいです。

## 実装

上記の設定で実験を行うため、記憶力がカンストした人達に大量に神経衰弱をプレイしてもらうコードを書きました。

Pythonで書きました。

```python
import numpy.random as rd
import numpy as np
import pandas as pd
class Game:
    def __init__(self,n_players, n_suits=4, n_numbers=13):
        self.n_cards = n_suits * n_numbers
        self.n_players=n_players
        self.n_numbers=n_numbers
        self.n_suits=n_suits
        self.cards_in_field = [n_suits] * n_numbers
        self.pairs_acquired = [0]*n_players
        self.unpaired_opened = set()
        self.paired_opened = set()
        
    def start(self):
        turns = 0
        result={
            "settings":{
                "n_cards":self.n_cards,
                "n_numbers":self.n_numbers,
                "n_players":self.n_players,
                "n_suits":self.n_suits
            },
            "history":[]
        }
        
        while self.n_cards:
            assert sum(self.cards_in_field)==self.n_cards
            turns +=1
            player = (turns-1) % self.n_players
            print(f"Turn {turns}, Player {player}")
            # 確定ペアを取得 
            if self.paired_opened:
                # このゲームでは確定ペアは1ペアより多くはならない
                assert len(self.paired_opened)==1
                print(f"player{player} gets {self.paired_opened} from paired opened cards.")
                # ペア処理
                self.pairs_acquired[player] +=len(self.paired_opened)
                self.n_cards -= 2*len(self.paired_opened)
                for card in self.paired_opened:
                    self.cards_in_field[card] -=2
                    
                self.paired_opened = set()
            # 取り切るかペアが引けなかったらやめる
            while self.n_cards:
                # 残りからランダムに引く
                prob=np.array(self.cards_in_field)/self.n_cards
                first_card=rd.choice(len(self.cards_in_field), p=prob)
                self.cards_in_field[first_card]-=1
                self.n_cards -= 1
                    
                if first_card in self.unpaired_opened:
                    # 既にでたカードとペアにしてもう一度
                    self.unpaired_opened.remove(first_card)
                    print(f"player{player} gets {first_card} from random and unpaired_cards.")
                    
                    # ペア処理
                    self.pairs_acquired[player] += 1
                    self.n_cards -= 1
                    self.cards_in_field[first_card] -=1
                else:
                    # もう一度ランダムに引く
                    prob=np.array(self.cards_in_field)/self.n_cards
                    second_card=rd.choice(len(self.cards_in_field), p=prob)
                    if first_card == second_card:
                        print(f"player{player} gets {first_card} from random.")
                        # ペア処理
                        
                        self.pairs_acquired[player] += 1
                        self.n_cards -= 1
                        self.cards_in_field[first_card] -=1
                    else:
                        # 場を元に戻す
                        self.cards_in_field[first_card]+=1
                        self.n_cards += 1
                        
                        if second_card in self.unpaired_opened:
                            # 確定ペアができた場合
                            self.unpaired_opened.remove(second_card)
                            self.paired_opened.add(second_card)
                            self.unpaired_opened.add(first_card)
                        else:
                            # どちらもunpairedに追加
                            self.unpaired_opened.add(first_card)
                            self.unpaired_opened.add(second_card)
                        break

print(f"rest cards : {self.n_cards}")
            print(self.unpaired_opened)
            print(self.paired_opened)
            print(self.pairs_acquired)
            print(self.cards_in_field)
            turn_result={"turns":turns,"player":player,"rest":self.n_cards,"pairs":list(self.pairs_acquired)}
            result["history"].append(turn_result)
            
        result["pairs"] = self.pairs_acquired
        result["rank"] = list(pd.Series(self.pairs_acquired).rank(method="min", ascending=False))
        return result
```

このクラスを使うことで、次のように書くと1ゲーム分が実行されて、結果が返ります。

```python
game=Game(n_players=4)
result=game.start()
```

これをパラメータを変えて実験していきます。
今回のシミュレーションの施行回数は全て1000回と設定しています。

では、実験していきましょう。

## プレイヤー数を変えて勝率を見る

まずプレイヤー数を増やしていき、行動順と勝率の関係をみていきます。

プレイヤー数を2人、3人から始めてみましょう。

ほぼ勝率に差はありません。(勝率の和が1を超えてしまうのは、同率一位の場合をどちらも1位として計算しているためです。)

プレイヤーの数が少ないと、何度も順番が回ってくるため、有利な位置の影響が小さくなってフェアになると考えられます。

ここから人数を増やして、5から8人くらいでプレイしてみます。

<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiC0GZSfnoZTqQYQ4MwLYt4ihJyFH4oSq0tf82N12CDG7NHPiXsz3jfcdJkugrywc0f2yFdRY6-dk-QMlek_lhTiLtO8adfTKh0HP4qiYnoZe-bhHATt8zfC2M5LHMyJuJzfAkZqBdLB-lA/s393/win_prob5.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="262" data-original-width="393" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiC0GZSfnoZTqQYQ4MwLYt4ihJyFH4oSq0tf82N12CDG7NHPiXsz3jfcdJkugrywc0f2yFdRY6-dk-QMlek_lhTiLtO8adfTKh0HP4qiYnoZe-bhHATt8zfC2M5LHMyJuJzfAkZqBdLB-lA/s320/win_prob5.png"/></a></div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6ZTIUf3XlH-p6bHYSZY-5_IXbdhM4pUGETvd3gaqdcqIxCUGK_lx1FoT5j0qnPllWqsknoAHfqdfY6F16vsLjUbHbwGLIO3EKozbPcykGVXrKrdyFKpQApWNAwkO9XYetlP1XAKYmdA7y/s393/win_prob6.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="262" data-original-width="393" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6ZTIUf3XlH-p6bHYSZY-5_IXbdhM4pUGETvd3gaqdcqIxCUGK_lx1FoT5j0qnPllWqsknoAHfqdfY6F16vsLjUbHbwGLIO3EKozbPcykGVXrKrdyFKpQApWNAwkO9XYetlP1XAKYmdA7y/s320/win_prob6.png"/></a></div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-mYQZNZyQLUsagk29miLg158UeJfrGoOCam5N8MB0M8PhjDLxyS_BUSeJ30TDdUZMF21D44_8cWtz4ZQPM7TuPYqT52Gs7zvRZBLDx_w2Kdy9eK-XY3n8iPmPPqidR557pxH6gm0kJBpb/s393/win_prob7.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="262" data-original-width="393" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-mYQZNZyQLUsagk29miLg158UeJfrGoOCam5N8MB0M8PhjDLxyS_BUSeJ30TDdUZMF21D44_8cWtz4ZQPM7TuPYqT52Gs7zvRZBLDx_w2Kdy9eK-XY3n8iPmPPqidR557pxH6gm0kJBpb/s320/win_prob7.png"/></a></div><div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0SGO-BGKvImR9uZDcH2h2ijfa-h_H8aPbuImrFS8FDvsQwBfo9a1Ikcq7wvRLpgpu62eOtkHfivSFIU1oVXRZYv9A-Yk-BLKQLgQsja2ALYFnFCdb2bbPqaznRuY6I2O6UzFvBp7FAe8N/s393/win_prob8.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="262" data-original-width="393" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0SGO-BGKvImR9uZDcH2h2ijfa-h_H8aPbuImrFS8FDvsQwBfo9a1Ikcq7wvRLpgpu62eOtkHfivSFIU1oVXRZYv9A-Yk-BLKQLgQsja2ALYFnFCdb2bbPqaznRuY6I2O6UzFvBp7FAe8N/s320/win_prob8.png"/></a></div>
  
図を見ると、人数を増やしていくと行動順の位置によって勝率に差が出て来ています。

こんなかんじでしょうか。

|プレイヤー数|勝率が高い位置|
|----|----|
|5人 | 1,2番目|
|6人 | 4,5番目|
|7人 | 2,3番目|
|8人 | 1,7番目|

特定の順番のプレイヤーが有利になっていそうですが、その有利な位置はプレイヤー数に依存していそうです。

ぱっと見ではどのような規則になっているかはわからないですね。

これから、この規則を解明していくために別の実験を行っていきます。

## 勝率の高い順番の規則を調べる

具体的に、プレイヤー数が増えていくと位置による有利不利が強くなりそうですが、どの位置のプレイヤーが有利なのかを調べていきます。

まず、終了ターン数のヒストグラムを見てみましょう。

<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSS_KBJKaPM4WVJlg3UAp6BwsVon6URFeZ5lsLSjrtTFA41KgsP7QlxcyTcmSaKLVCrQJKhUsX62JemTadRMDC6bl1V5HxxFbruGak4kEVdqePzVtPMF3cJJKNfYLH7CCCMywJorWmTU84/s389/turns_hist.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="262" data-original-width="389" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSS_KBJKaPM4WVJlg3UAp6BwsVon6URFeZ5lsLSjrtTFA41KgsP7QlxcyTcmSaKLVCrQJKhUsX62JemTadRMDC6bl1V5HxxFbruGak4kEVdqePzVtPMF3cJJKNfYLH7CCCMywJorWmTU84/s320/turns_hist.png"/></a></div>
  
図を見ると、16ターン前後で大体終わることがわかります。
また、21ターンが最大っぽいこともわかります。
(実験した後少し考えてみましたが、21ターンが最大であっていそうです)

次に、場にある残り枚数とターン数の関係をみると、終盤で一気に残り枚数が減っていく様子がみて取れます。

<div class="separator" style="clear: both;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUdDeju1rT3T4Jg-x548RY6y-ccX74MNnbwlVcqMuABOLpJQqn5oOBznyGZ0XTPrUHODWR93flGgXosgSJcOTZiUDO37VhrbJGEMaq4B7NXpwJvobQzhvD3b8gJA9FuFwOW9MLwT9y-EUz/s383/rest_cards.png" style="display: block; padding: 1em 0; text-align: center; "><img alt="" border="0" width="320" data-original-height="262" data-original-width="383" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUdDeju1rT3T4Jg-x548RY6y-ccX74MNnbwlVcqMuABOLpJQqn5oOBznyGZ0XTPrUHODWR93flGgXosgSJcOTZiUDO37VhrbJGEMaq4B7NXpwJvobQzhvD3b8gJA9FuFwOW9MLwT9y-EUz/s320/rest_cards.png"/></a></div>
  
これは神経衰弱で遊んだことがある人は経験あると思います。
終盤に連続でペアを取っていくあの爽快感(あるいは取られていく無力感)は神経衰弱ならではですね。

これらの結果を合わせると、大体16ターン前後に連続でペアをとって試合終了し、勝利する、という現象が多く起きていそうです。つまり16ターン前後に順番が回ってくる位置が強そう、ということです。

実際にシミュレーションしてこれを確認します。

同じプレイヤーに複数回回ってくると考察がしづらいので、最長ターン数分の21人のプレイヤーを用意して勝率を調べてみます。

勝率をみると、確かに16,17番目のプレイヤーの勝率が高いです。
各プレイヤーの平均枚数をみても勝率と同じようなグラフになります。

だいたい勝率と同じ形状ですが、5~12ターンの人は勝率は低いものの平均枚数で見ると結構とれているのが面白いですね。そこそことれているけど一番にはなれない、みたいな感じでしょうか。

これらの実験から、

> 一周しか回ってこないなら、16,17番目に行動順が回ってくるプレイヤーの勝率が高くなってくる

と考えられます。

21人プレイで得られたこの考察を一般の場合に適用して考えてみると、

プレイヤー数が少ないうちは各プレイヤーの行動回数が多いので、16,17番目の行動の影響が相対的に小さく勝率に差が出にくいですが、プレイヤー数が多くなると、一人当たりの行動回数が減り、強い行動順の影響が相対的に大きくなる、と考えられそうです。

ここで、この考察を念頭におきながら、最初に見た5,6,7,8人でプレイした際の勝率を見ていきましょう。

プレイヤー数と勝率の高い順番の関係はこのようになっていました。

|プレイヤー数|勝率が高い位置|
|----|----|
|5人 | 1,2番目|
|6人 | 4,5番目|
|7人 | 2,3番目|
|8人 | 1,7番目|

それぞれ16,17をプレイヤーの人数で割ったあまりをみると

|プレイヤー数|勝率が高い位置|16,17をプレイヤー数で割った余り|
|----|----|----|
|5人 | 1,2番目|1,2|
|6人 | 4,5番目|4,5|
|7人 | 2,3番目|2,3| 
|8人 | 1,7番目|0,1|

と、ほぼ一致しています！

(8人の時だけ少しずれていますが、他の周回の影響が関係していそうです。)

つまり、プレイヤー数が増えてきて勝率が高めになっている順番の人は、16,17番目に行動できる位置のプレイヤーだった、ということがわかりました。

## 結論

プレイヤー数が5人以上で、周りが記憶力最強の人と神経衰弱をする時は、16,17番目に順番が回ってくる位置に座りましょう。

記憶力がカンストした人たちが神経衰弱をしたら

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